第20节

  原本的时空他管不着也没能力去管，但在这个时间点里，徐云不会让杨辉三角与帕斯卡共享其名！
  有牛老爷子做担保，杨辉三角就是杨辉三角。
  一个只属于华夏的名词！
  随后徐云心中呼出一口浊气，继续动笔在上面画了几条线：
  “牛顿先生，您看，这个三角的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数都等于它肩上的两个数相加。
  从图形上说明的任一数c(n，r)，都等于它肩上的两数c(n－1，r－1)及c(n－1，r)之和。”
  说着徐云在纸上写下了一个公式：
  c(n，r)=c(n－1，r－1)＋c(n－1，r)（n=1，2，3，···n）
  以及……
  （a＋b)^2=a^2＋2ab＋b^2
  (a＋b)^3=a^3＋3a^2b＋3ab^2＋b^3
  (a＋b)^4=a^4＋4a^3b＋6a^2b^2＋6ab^3＋b^4
  (a＋b)^5=a^5＋5a^4b＋10a^3b^2＋10a^2b^3＋5ab^4＋b^5
  在徐云写到三次方那栏时，小牛的表情逐渐开始变得严肃。
  而但徐云写到了六次方时，小牛已然坐立不住。
  干脆站起身，抢过徐云的笔，自己写了起来：
  (a＋b)^6=a^6＋6a^5b＋15a^4b^2＋20a^3b^3＋15a^2b^4＋6ab^5＋a^6！
  很明显。
  杨辉三角第n行的数字有n项，数字和为2的n－1次幂，(a＋b)的n次方的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n＋1)行中的每一项！
  虽然这个展开式对于小牛来说毫无难度，甚至可以算是二项式展开的基础操作。
  但是，这还是头一次有人如此直观的将开方数用图形给表达出来！
  更关键的是，杨辉三角第n行的m个数可表示为c(n－1，m－1)，即为从n－1个不同元素中取m－1个元素的组合数。
  这对于小牛正在进行的二项式后续推导，无疑是个巨大的助力！
  但是……
  小牛的眉头又逐渐皱了起来：
  杨辉三角的出现可以说给他打开了一个新思路，但对于他现在所卡顿的问题，也就是（p＋pq）m/n的展开却并没有多大帮助。
  因为杨辉三角涉及到的是系数问题，而小牛头疼的却是指数问题。
  现在的小牛就像是一位骑行的老司机。
  拐过一个山道时忽然发现前方百米过后一马平川，景色壮美，但面前十多米处却有一个巨大的落石堆挡路。
  而就在小牛纠结之时，徐云又缓缓说了一句话：
  “对了，牛顿先生，韩立爵士对于杨辉三角也有所研究。
  后来他发现二项式的指数似乎并不一定需要是整数，分数甚至负数似乎也是可行的。”
  “负数的论证方法他没有说明，但却留下了分数的论证方法。”
  “他将其称为……”
  “韩立展开！”
  ……
  第25章 韩·数学鬼才·立
  屋子里，徐云正在侃侃而谈：
  “牛顿先生，韩立爵士计算发现，二项式定理中指数为分数时，可以用e^x=1＋x＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^n/n！＋……来计算。”
  说着徐云拿起笔，在纸上写下了一行字：
  当n=0时，e^x＞1。
  “牛顿先生，这里是从x^0开始的，用0作为起点讨论比较方便，您可以理解吧？”
  小牛点了点头，示意自己明白。
  随后徐云继续写道：
  假设当n=k时结论成立，即e^x＞1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^k/k！（x＞0）
  则e^x－[1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^k/k！]＞0
  那么当n=k＋1时，令函数f(k＋1)=e^x－[1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^(k＋1)/(k＋1)]！（x＞0）
  接着徐云在f(k＋1)上画了个圈，问道：
  “牛顿先生，您对导数有了解么？”
  小牛继续点了点头，言简意赅的蹦出两个字：
  “了解。”
  学过数学的朋友应该都知道。
  导数和积分是微积分最重要的组成部分，而导数又是微分积分的基础。
  眼下已经时值1665年末，小牛对于导数的认知其实已经到了一个比较深奥的地步了。
  在求导方面，小牛的介入点是瞬时速度。
  速度=路程/时间，这是小学生都知道的公式，但瞬时速度怎么办？
  比如说知道路程s=t^2，那么t=2的时候，瞬时速度v是多少呢？
  数学家的思维，就是将没学过的问题转化成学过的问题。
  于是牛顿想了一个很聪明的办法：
  取一个”很短”的时间段△t，先算算t=2到t=2＋△t这个时间段内，平均速度是多少。
  v=s/t=（4△t＋△t^2）/△t=4＋△t。
  当△t越来越小，2＋△t就越来越接近2，时间段就越来越窄。
  △t越来越接近0时，那么平均速度就越来越接近瞬时速度。
  如果△t小到了0，平均速度4＋△t就变成了瞬时速度4。
  当然了。
  后来贝克莱发现了这个方法的一些逻辑问题，也就是△t到底是不是0。
  如果是0，那么计算速度的时候怎么能用△t做分母呢？鲜为人……咳咳，小学生也知道0不能做除数。
  到如果不是0，4＋△t就永远变不成4，平均速度永远变不成瞬时速度。
  按照现代微积分的观念，贝克莱是在质疑lim△t→0是否等价于△t=0。
  这个问题的本质实际上是在对初生微积分的一种拷问，用“无限细分”这种运动、模糊的词语来定义精准的数学，真的合适吗？
  贝克莱由此引发的一系列讨论，便是赫赫有名的第二次数学危机。
  甚至有些悲观党宣称数理大厦要坍塌了，我们的世界都是虚假的——然后这些货真的就跳楼了，在奥地利还留有他们的遗像，某个扑街钓鱼佬曾经有幸参观过一次，跟七个小矮人似的，也不知道是用来被人瞻仰还是鞭尸的。
  这件事一直到要柯西和魏尔斯特拉斯两人的出现，才会彻底有了解释与定论，并且真正定义了后世很多同学挂的那棵树。
  但那是后来的事情，在小牛的这个年代，新生数学的实用性是放在首位的，因此严格化就相对被忽略了。
  这个时代的很多人都是一边利用数学工具做研究，一边用得出来的结果对工具进行改良优化。
  偶尔还会出现一些倒霉蛋算着算着，忽然发现自己这辈子的研究其实错了的情况。
  总而言之。
  在如今这个时间点，小牛对于求导还是比较熟悉的，只不过还没有归纳出系统的理论而已。
  徐云见状又写到：
  对f(k＋1)求导，可得f(k＋1)'=e^x－1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^k/k！
  由假设知f(k＋1)'＞0
  那么当x=0时。
  f(k＋1)=e^0－1－0/1！－0/2！－.－0/k＋1！=1－1=0
  所以当x＞0时。
  因为导数大于0，所以f(x)＞f(0)=0
  所以当n=k＋1时f(k＋1)=e^x－[1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^(k＋1)/(k＋1)]！（x＞0）成立！
  最后徐云写到：
  综上所属，对任意的n有：
  e^x＞1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋……＋x^n/n！（x＞0）
  论述完毕，徐云放下钢笔，看向小牛。
  只见此时此刻。
  这位后世物理学的祖师爷正瞪大着那一双牛眼，死死地盯着面前的这张草稿纸。
  诚然。
  以目前小牛的研究进度，还不太好理解切线与面积的真正内在含义。
  但了解数学的人都知道，广义二项式定理其实就是复变函数的泰勒级数的特殊情形。
  这个级数与二项式定理是兼容的，系数符号也是与组合符号兼容的。
  所以二项式定理可以由自然数幂扩充至复数幂，组合定义也可以由自然数扩充至复数。